مراجعة مجانية · الجزائر · شهادة التعليم المتوسط

ملخص الرياضيات السنة الرابعة متوسط الفصل الثاني: المعادلات والأشعة والدوال

نترجم وضعية إلى معادلة أو متراجحة، ثم نمثل الحل. نتعلم الانتقال بالشعاع، حل جملتين، وقراءة الدوال الخطية والتآلفية على الرسم.

5 محاور برسوم توضيحيةأمثلة محلولةأسئلة BEM

كيف تراجع بذكاء؟

افهم الرسم ثم أعد الحل بنفسك

اقرأ المسألة، أغلق المثال المحلول وحاول الوصول إلى النتيجة على ورقة، ثم افتح سؤال التثبيت. احفظ القاعدة بعد استعمالها، لا قبل ذلك.

الفصل 2 · 1

المعادلة من الدرجة الأولى

حل المعادلة قيمة تجعل الطرفين متساويين. نجري العملية نفسها على الطرفين للمحافظة على التساوي، ثم نعوض للتحقق. وجود مقام يتطلب استبعاد قيمة تجعله صفرًا عند ظهورها.

خطوات الحل الحسابية من اليسار إلى اليمين: نطرح ثم نقسم؛ كل خطوة على الطرفين معًا.

القاعدة التي نستعملها

كل خطوة تُطبّق على الطرفين. لا نقسم على صفر.

ax + b = c → x = (c − b)/a (a ≠ 0)

المثال الأول · محلول خطوة بخطوة

نحل المعادلة بإجراء العملية نفسها على طرفيها ثم نتحقق.

3x + 5 = 20

3x = 20 − 5 = 15

x = 15/3 = 5

3(5) + 5 = 20 ✓

طرحنا 5 من الطرفين، ثم قسمنا الطرفين على 3.

افتح المثال الثاني: حل

5x+2=27

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

5x + 2 = 27

5x = 25

x = 5

افتح المثال الثالث: حل

2(x-3)=14

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

2(x − 3) = 14

x − 3 = 7

x = 10

انتبه: عند نقل حد إلى الطرف الآخر تتغير إشارته لأننا نجري جمعًا أو طرحًا على الطرفين.

حل

4x-7=9

$4x=16$ ، إذن $x=4$ ؛ التحقق $16-7=9$ .

الفصل 2 · 2

المتراجحات ومجموعة الحلول

تشبه خطوات حل المتراجحة حل المعادلة؛ لكن عند الضرب أو القسمة على عدد سالب ينعكس اتجاه رمز المقارنة. نمثل الحل على مستقيم مدرج بدائرة ممتلئة إذا دخل الحدّ، وفارغة إذا لم يدخل.

دائرة فارغة عند الصفر وسهم نحو القيم الأكبر. عند x ≥ 0 تكون الدائرة ممتلئة.

القاعدة التي نستعملها

عند الضرب أو القسمة على سالب ينعكس اتجاه رمز المتراجحة.

a < b → −a > −b

−3x > 12 → x < −4

المثال الأول · محلول خطوة بخطوة

عند القسمة على عدد سالب نقلب اتجاه المتراجحة.

−2x + 4 ≤ 10

−2x ≤ 6

x ≥ −3

انقلب الرمز فقط في الخطوة الأخيرة لأننا قسمنا على $-2$ .

افتح المثال الثاني: حل

3x-5<7

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

3x − 5 < 7

3x < 12

x < 4

افتح المثال الثالث: حل

-4x\leq8

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

−4x ≤ 8

x ≥ −2

انتبه: لا تقلب الرمز عند الجمع أو الطرح، ولا عند الضرب في عدد موجب.

حل

-3x>12

بقسمة الطرفين على $-3$ تنقلب الإشارة: $x<-4$ .

الفصل 2 · 3

الأشعة والانسحاب والمعلم

الشعاع يحدد اتجاهًا ومنحى وطولًا. انسحاب نقطة $A$ بالشعاع $AB$ ينقلها إلى صورة بفارق الإحداثيين نفسه. إذا كانت $A(x₁,y₁)$ و $B(x₂,y₂)$ فإن إحداثيي $AB$ هما ( $x₂-x₁,y₂-y₁)$ .

الانسحاب ينقل كل نقطة بالشعاع نفسه، فلا يغير طول الشكل ولا اتجاهه.

القاعدة التي نستعملها

إحداثيا الشعاع = النهاية ناقص البداية، وطوله يحسب بفيثاغورس.

AB = (xB − xA, yB − yA)

AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)

المثال الأول · محلول خطوة بخطوة

نطرح إحداثيي البداية من إحداثيي النهاية، ثم نحسب الطول.

A(1, 2), B(4, 6)

AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)

|AB| = √(3² + 4²) = 5

نحافظ على الترتيب: النهاية ناقص البداية.

افتح المثال الثاني: من

A(0,1)

إلى

B(2,4)

، ما إحداثيا الشعاع وطوله؟

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

AB = (2, 3)

|AB| = √(4 + 9) = √13

افتح المثال الثالث: انقل

C(-2,1)

بالشعاع (3,4).

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

C′ = (−2 + 3, 1 + 4) = (1, 5)

انتبه:

AB

يختلف عن

BA

: لهما الطول نفسه ومنحيان متعاكسان.

ما إحداثيا الشعاع من

A(-1,3)

إلى

B(2,5)

( $2-(-1),5-3)=(3,2)$ .

الفصل 2 · 4

جملة معادلتين بمجهولين

الحل زوج مرتب ( $x,y)$ يحقق المعادلتين معًا. يمكن الحذف بجمع المعادلتين بعد توحيد أحد المعاملين، أو التعويض. بيانيًا يمثل الحل نقطة تقاطع المستقيمين.

حل الجملة هو زوج الإحداثيين الذي يحقق المعادلتين، أي نقطة تقاطع المستقيمين إذا تقاطعا.

القاعدة التي نستعملها

زوج الحل يحقق المعادلتين معًا؛ نقطة التقاطع هي قراءته البيانية.

(x, y)

المثال الأول · محلول خطوة بخطوة

نجمع المعادلتين لحذف $y$ ، ثم نعوض بقيمة $x$ .

x + y = 7

x − y = 1

2x = 8 → x = 4

y = 7 − 4 = 3

الحل هو الزوج المرتب (4،3)؛ تحقق منه في المعادلتين.

افتح المثال الثاني: حل الجملة:

x+y=9

x-y=3

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

2x = 12 → x = 6

y = 9 − 6 = 3

افتح المثال الثالث: حل الجملة:

2x+y=11

x-y=1

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

3x = 12 → x = 4

y = x − 1 = 3

انتبه: إذا كان المستقيمان متوازيين ولا يتطابقان فلا حل، وإذا انطبقا فالحلول غير منتهية.

حل

x+y=10

x-y=2

بالجمع $2x=12$ ، إذن $x=6$ و $y=4$ .

الفصل 2 · 5

الدالة الخطية والتآلفية

الدالة الخطية شكلها $f(x)=ax$ وتمثيلها مستقيم يمر بمبدأ المعلم. الدالة التآلفية شكلها $g(x)=ax+b$ ، ويقطع تمثيلها محور التراتيب عند $b$ . يمكن قراءة صورة $x$ على الرسم أو حسابها بالتعويض.

يمر تمثيل f(x)=ax بالمبدأ. يقطع تمثيل g(x)=ax+b محور التراتيب عند b؛ الميل a يحدد الاتجاه.

القاعدة التي نستعملها

الدالة الخطية تمر بالمبدأ، والتآلفية تقطع محور التراتيب عند b.

f(x) = ax

g(x) = ax + b

g(0) = b

المثال الأول · محلول خطوة بخطوة

نعوض قيمة $x$ في التعبير، ثم نميز موضع قطع محور التراتيب.

f(x) = 2x → f(3) = 6

g(x) = 2x + 1 → g(3) = 7

g(0) = 1

تمثيل $f$ يمر بالمبدأ؛ وتمثيل $g$ يقطع محور التراتيب عند 1.

افتح المثال الثاني: للدالة

f(x)=-3x

، احسب صورة

-2

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

f(−2) = −3 × (−2) = 6

افتح المثال الثالث: للدالة

g(x)=2x-4

، احسب صورتَي 0 و5.

حاول أولًا على ورقة، ثم قارن خطواتك:

g(0) = −4

g(5) = 2 × 5 − 4 = 6

انتبه: الدالة الثابتة

g(x)=b

تآلفية بمعامل

a=0

؛ ليست خطية إلا إذا

b=0

لدالة

g(x)=-2x+5

، ما صورة 4؟

$g(4)=-8+5=-3$ .

مراجعة نهائية

بطاقة القواعد التي تحتاجها

المعادلة من الدرجة الأولى — كل خطوة تُطبّق على الطرفين. لا نقسم على صفر. راجع الأمثلة

المتراجحات ومجموعة الحلول — عند الضرب أو القسمة على سالب ينعكس اتجاه رمز المتراجحة. راجع الأمثلة

الأشعة والانسحاب والمعلم — إحداثيا الشعاع = النهاية ناقص البداية، وطوله يحسب بفيثاغورس. راجع الأمثلة

جملة معادلتين بمجهولين — زوج الحل يحقق المعادلتين معًا؛ نقطة التقاطع هي قراءته البيانية. راجع الأمثلة

الدالة الخطية والتآلفية — الدالة الخطية تمر بالمبدأ، والتآلفية تقطع محور التراتيب عند b. راجع الأمثلة

الفصل 1 الفصل 3 جميع فصول الرياضيات

ترتيب المحاور وفق المخططات السنوية لوزارة التربية الوطنية؛ قد يختلف توقيت بعض الدروس من مؤسسة إلى أخرى. الرسوم والأمثلة معدّة خصيصًا للمراجعة.